Brautarherma, Lagrange punktar og bundin snúningshreyfing

1. Inngangur

Herma (e. resonance) er vel þekkt fyrirbæri í eðlisfræði. Hana má skilgreina sem tilhneigingu kerfis til að sveiflast með stærra útslagi við ákveðnar tíðnir. Nærtækt dæmi um hermu er þegar hlutur brotnar við tíðni hljóðbylgna í grennd við hermitíðni hans.

Brautarherma (e. orbital resonance) kemur fram í sólkerfinu milli tveggja hnatta þegar þyngdaráhrif þeirra hvor á annan endurtaka sig með ákveðinni lotu. Þetta kemur fram þegar hlutfall umferðartíma þeirra T_i er ræð tala:

\frac{T_1}{T_2}=\frac{p}{q},\qquad \mbox{og } p,q\in\mathbb{Z} \hspace{24pt} (1)

Þetta veldur því að þyngdaráhrif hnattanna hvor á annan magnast upp. Það fer svo eftir afstæðri stöðu hnattanna hvort að brautir þeirra raskist eða haldist stöðugri fyrir vikið. 

Við munum líta nánar á áhrif brautarhermu á dreifingu smástirna í smástirnabeltinu sem liggur á milli brauta Mars og Júpíters. Einnig skoðum við hvað liggur að baki tilvist Trójusmástirnanna sem eru í 1:1 brautarhermu við Júpíter og kanna ástæður læstrar snúningshreyfingar Plútós og fylgitunglsins Karons.

2. Smástirnabeltið og Kirkwood eyðurnar

2.1. Brautarhermur í smástirnabeltinu

Mynd 1: Súlnarit sem sýnir fjölda þekktra smástirna í smástirnabeltinu sem fall af hálfum langás brautar þeirra. Hlutföll umferðartíma smástirnanna og Júpíters í Kirkwood eyðunum eru merkt inn á myndina. Myndin er unnin upp úr gögnum frá NASA.

Smástirnabeltið er í u.þ.b. 1,7 til 4 stjarnfræðieininga (SE) fjarlægð frá sólu en þar er þéttleiki smástirna meiri en annars staðar í innra sólkerfinu.^[4] Smástirni á braut um sólu verða fyrir þyngdaráhrifum bæði vegna hennar og reikistjarnanna. Þyngdaráhrif reikistjarnanna hafa truflandi áhrif á brautir smástirnanna en áhrif Júpíters eru ráðandi í smástirnabeltinu. Umferðartími smástirnanna í beltinu um sólu er mjög breytilegur og því má búast við að finna áhrif brautarhermu innan beltisins.

Á mynd 1 má sjá fjölda smástirna í smástirnabeltinu sem fall af hálfum langás (e. semi-major axis) eða fjarlægð brautar þeirra um sólu. Á grafinu sést að þéttleiki smástirna innan beltisins er misjafn og greinilegar eyður myndast í vissum fjarlægðum frá sólu. Þessar eyður eru nefndar Kirkwood-eyðurnar í höfuðið á Daniel Kirkwood sem fyrstur uppgötvaði þær árið 1866. Umferðartími smástirnanna um sólu er háður langás brautar þeirra samkvæmt 3. lögmáli Keplers og eyðurnar koma því fram þar sem umferðartími smástirnanna og Júpíters uppfylla jöfnu (1). Þó eru aðrir staðir í beltinu þar sem sama skilyrði er uppfyllt en smástirnin þyrpast saman, til að mynda í Hilda hópnum, þar sem hlutfallið við umferðartíma Júpíters er 2:3.

Þessi hegðun smástirna í beltinu til að hópast ýmist saman eða sundrast við ákveðnar brautarhermur þekkist einnig annars staðar í sólkerfinu, t.d. í hringum Satúrnusar.^[2] Stjörnufræðingar hafa lengi glímt við þessa hegðun hnatta nálægt brautarhermum og ástæðurnar eru ekki þekktar til hlítar.

2.2. Ringluð hegðun við brautarhermur

Með tilkomu tölva og reiknilíkana á seinni hluta 20. aldar hefur vísindamönnum tekist að kanna nánar þróun hreyfikerfa reikistjarnanna og annarra hnatta á braut um sólu. Þannig tókst bandaríska stjörnufræðingnum Jack Wisdom að koma fram með sannfærandi skýringu á orsök Kirkwood eyðanna. Hann komst að því að ringl (e. chaos) spilar þar stórt hlutverk.

Wisdom einbeitti sér að því að rannsaka hegðun smástirna í Alinda fjölskyldunni, hóp smástirna sem eru nálægt 3:1 brautarhermu við Júpíter. Í líkani Wisdoms virtust smástirni á brautum með lítilli miðskekkju (e < 0,1) nálægt þessari hermu ferðast reglulega á brautum sínum í þó nokkurn tíma en sýna svo skyndilega ringlaða hegðun. Áhrif þessa voru breytingar á brautarhreyfingu þeirra og þá sér í lagi á miðskekkju brautarinnar.

Aukning í miðskekkju brautar smástirnanna veldur ekki breyttri meðalfjarlægð þeirra frá sólu. Ílengri brautir smástirnanna geta hins vegar orðið til þess að smástirnin skeri brautir innri reikistjarnanna. Þegar miðskekkja brautarinnar er orðin slík að smástirnið sker braut Mars er aðeins talið tímaspursmál hvenær það rekist á rauðu plánetuna eða braut þess raskist svo það teljist ekki lengur til smástirna beltisins. Samkvæmt reiknilíkani Wisdoms var þetta raunin fyrir smástirni nálægt 3:1 brautarhermu við Júpíter. Talið er að þetta geti útskýrt Kirkwood eyðurnar í smástirnabeltinu. Fyrir smástirni með umferðartíma sem uppfyllir ekki jöfnu (1), eru truflandi áhrif Júpíters aftur á móti tilviljanakennd og jafnast út þegar litið er til lengri tíma.^{[2, 6, 8]}

3. Trójusmástirnin: Lagrange punktar sólar og Júpíters

Árið 1772 vann Joseph Louis Lagrange að úrlausn þriggja hnatta vandamálsins svokallaða. Verkefnið er að spá fyrir um hreyfingar þriggja hnatta sem hlíta lögmálum Newtons út frá gefnum upphafsskilyrðum. Verkefnið í sinni almennu mynd er ringlað og hefur enga lausn á lokuðu formi.

Lagrange kannaði sértilvik þriggja hnatta vandamálsins þar sem tveir hnettir með massa M₁ >> M₂ (t.d. sólin og Júpíter) hreyfast á hringlaga brautum um sameiginlega massamiðju sína. Þriðji hnötturinn af massa m << M₂ ferðast einnig á hringlaga braut um massamiðju kerfisins en litið er framhjá þyngdaráhrifum m á hina tvo hnettina.

Skilyrðið fyrir hringlaga hreyfingu massa m um sólu (af massa M₁) er að þyngdarkrafturinn sem verkar á massann frá sólu sé jafn miðsóknarkrafti hringhreyfingarinnar:

G\frac{M_1m}{r^2}=\frac{mv^2}{r}.

Nú verkar pláneta af massa M₂ einnig á m með þyngdarkrafti sínum og samanlögð þyngdaráhrif sólar og reikistjörnunnar verka á m. Í ákveðnum punktum mynda þyngdarkraftur sólar og reikistjörnunnar saman miðsóknarkraft sem er nægur til að halda m á hringlaga braut um sólu með sama umferðartíma og reikistjarnan M₂. Massinn m uppfyllir þá 1:1 brautarhermu við reikistjörnuna. Lagrange fann út að fimm slíkir staðir væru um eða á braut hverrar plánetu og voru þessir punktar nefndir Lagrange punktar.

Lagrange punktarnir eru sýndir á mynd 2. Þrír þeirra liggja á línunni milli sólar og reikistjörnunnar og eru allir óstöðugir til lengri tíma litið. Hinir tveir eru hornpunktar í jafnhliða þríhyrningum, þar sem sólin og reikistjarnan eru í hinum hornpunktunum og eru stöðugir ef reikistjarnan er mun massaminni en sólin. Líta má á Lagrange punktana sem útgildispunkta í samanlögðu þyngdarmætti hnattanna M₁ og M₂.

Fyrsti Lagrange punkturinn (L₁) er staðsettur innan brautar reikistjörnunnar. Ef r er fjarlægðin milli reikistjörnunnar og sólar og d fjarlægðin milli reikistjörnunnar og m þá fæst skilyrðið fyrir hringhreyfingu í þeim punkti samkvæmt jöfnunni:

G\frac{mM_1}{(r-d)^2}-G\frac{mM_2}{d^2}=\frac{mv^2}{(r-d)}. \hspace{24pt} (2)

Hraðinn v er takmarkaður þannig að umferðartími m og reikistjörnunnar um sólu sé hinn sami:

\frac{2\pi r}{V}=\frac{2\pi (r-d)}{v}\quad\Rightarrow\quad v=\frac{V(r-d)}{r}, \hspace{24pt} (3)

þar sem V er brautarhraði plánetunnar. Staðurinn þar sem skilyrðin í jöfnum (2) og (3) gilda er fyrsti Lagrange punkturinn. SOHO geimfarið, sem fylgist með virkni sólarinnar er staðsett í L₁ punkti jarðar og sólar.

Svipaða útleiðslu má nota fyrir L₂, þar sem m liggur utan brautar plánetunnar en sömu megin við sólu:

G\frac{mM_1}{(r+d)^2}+G\frac{mM_2}{d^2}=\frac{mv^2}{(r+d)^2}.

Talið er að svokallað gagnskin (þ. gegenschein), afar dauf birta á næturhimni gagnstætt sólu, stafi af endurskini frá ögnum loftsteina sem safnist saman í L₂ punkti jarðar og sólar. James Webb geimsjónaukinn verður einnig staðsettur í kringum þann punkt.

Þriðji Lagrange punkturinn sem liggur á þessari beinu línu gegnum miðju sólar er öfugu megin sólar en reikistjarnan og liggur örlítið utan brautar hennar:

G\frac{mM_1}{(r + d)^2} + G\frac{mM_2}{(2r + d)^2}=\frac{mv^2}{(r+d)}.

Mynd 2: Staðsetning Lagrange punkta í kerfi Júpíters og sólarinnar. Myndin er fengin að láni hjá Lewis (2004).

L₁, L₂ og L₃ eru söðulpunktar í þyngdarmætti reikistjörnunnar og sólar. Þeir eru því óstöðugir, minnstu truflanir valda því að hnöttur staðsettur í einhverjum af þessum punktum verður fyrir hröðun og losnar fljótt úr 1:1 brautarhermunni við reikistjörnuna. Geimför geta þó verið staðsett í þessum punktum séu þau búin hreyflum sem leiðrétta stöðu þeirra eftir þörfum.

Fjórðu og fimmtu Lagrange punktarnir eru staðsettir 60 gráðum á undan og eftir reikistjörnunni séð frá sólu, rétt utan brautar reikistjörnunnar. Ólíkt hinum þremur Lagrange punktunum eru svæðin umhverfis L₄ og L₅ stöðug, að gefnu skilyrðinu:^[3]

M_1\geq24,96\,M_2. \hspace{24pt} (4)

Skilyrðið í (4) er uppfyllt fyrir fjölmarga hnetti sólkerfisins. Ef smástirni á braut nálægt þessum punktum verður fyrir truflun heldur það samt sem áður áfram að sveima um L₄ eða L₅ með sama meðalumferðartíma og plánetan.

Trójusmástirnin nefnast hnettir sem deila 1:1 brautarhermu við Júpíter og liggja á brautum í kringum L₄ og L₅ punkta Júpíters og sólar. Hingað til hafa fundist um 2000 smástirni sem deila þessari brautarhermu við Júpíter. Trójusmástirnin geta farið allt að 20 gráðum frá jafnvægispunktunum en haldið samt sem áður brautarhermu sinni.^[9]

4. Plútó: Brautarherma og bundin snúningshreyfing

4.1. Brautarherma við Neptúnus

Plútó sem eitt sinn var talin níunda reikistjarna sólkerfisins, fellur nú í hóp dvergreikistjarna. Nú er vitað að Plútó er aðeins einn af fjölmörgum hnöttum í Kuipersbeltinu svokallaða sem liggur handan brautar Neptúnusar.

Meðalfjarlægð Plútós frá sólu er um 39 SE. Braut Plútós er ílöng miðað við brautir reikistjarnanna og því munar miklu á fjarlægð Plútós frá sólu í sólfirð og sólnánd. Þetta veldur því að um tíma er Plútó nær sólu en Neptúnus. Plútó fylgir hins vegar 3:2 brautarhermu við Neptúnus sem varnar því að hnettirnir rekist á. Raunar fer Plútó nær Úranusi en Neptúnusi. Aðrir hnettir Kuipersbeltisins, svokallaðir frændhnettir Plútós, fylgja einnig sömu brautarhermu.^[5]

Þessi brautarherma Neptúnusar og hnatta Kuipersbeltisins er talin eiga rætur að rekja til árdaga sólkerfisins. Ytri gashnettir sólkerfisins færðust þá til vegna árekstra við smærri hnetti sem mynduðust um eða á brautum þeirra. Braut Júpíters færðist innar en hinir þrír gashnettirnir færðust utar í sólkerfið. Þegar Neptúnus færðist utar er talið að smærri hnettir hafi fangast í brautarhermu reikistjörnunnar. Brautarherman olli því svo að brautir smærri hnattanna urðu smám saman ílengri líkt og við sjáum nú með braut Plútós og annarra frændhnatta hans.^[5]

4.2. Bundin snúningshreyfing

Mynd 3: Bunga A er nær tunglinu en bunga B og því myndast kraftvægi sem hægir á snúningi jarðar. Myndin er fengin að láni hjá Carroll og Ostlie (2007).

Þrjú fylgitungl eru á braut um Plútó. Karon er þeirra langstærst og raunar hlutfallslega stærsta fylgitungl hnattar í sólkerfinu. Þvermál þess er um helmingur af þvermáli Plútós. Hin tvö fylgitungl Plútós, Nix og Hýdra, voru uppgötvuð árið 2005 á myndum Hubble geimsjónaukans og eru mun minni en Karon.^[7] Snúningur Plútós og Karons um sameiginlega massamiðju sína er dæmi um bundna snúningshreyfingu (e. tidal locking, captured rotation).

Hugsum okkur reikistjörnu og fylgitungl hennar sem ferðast á sporöskjulaga brautum um sameiginlega massamiðju kerfisins. Þyngdarkraftur reikistjörnunnar á nærhlið tunglsins er meiri en miðsóknarkrafturinn sem þarf til að viðhalda hreyfingu nærhliðarinnar. Þetta veldur því að lögun fylgitunglsins bjagast og sjávarfallabunga (e. tidal bulge) myndast á nærhlið þess.

Að sama skapi er þyngdarkraftur reikistjörnunnar á fjærhlið tunglsins minni en þarf fyrir hreyfingu fjærhliðarinnar um massamiðju kerfisins. Þetta veldur annarri sjávarfallabungu á fjærhlið fylgitunglsins. Sams konar bungur myndast á reikistjörnunni vegna þyngdartogs fylgitunglsins. Á jörðu sjást áhrif þessa flóðkrafta í sjávarföllum.^[6]

Ef reikistjarna snýst um sjálfa sig hraðar en fylgitunglið fer umhverfis hana „dragast“ sjávarfallabungurnar eftir yfirborði reikistjörnunnar með snúningnum vegna núningskrafta. Þær liggja því ekki í beinni línu milli massamiðju reikistjörnunnar og massamiðju fylgitunglsins. Því myndast kraftvægi á sjávarfallabungurnar vegna þyngdarkrafts tunglsins, líkt og sjá má á mynd 3. Ef að tunglið snýst umhverfis reikistjörnuna í sömu átt og hún snýst um sjálfa sig veldur þetta núningstapi og hverfiþunginn sem felst í snúningi reikistjörnunnar minnkar. Vegna varðveislu hverfiþunga kerfisins þarf brautarhverfiþungi tunglsins að aukast að sama skapi og tunglið fjarlægist því reikistjörnuna vegna aukins brautarhverfiþunga síns.

Nærtækt dæmi um þessa flóðkrafta má sjá í snúningi tunglsins um jörðu. Tunglið okkar fer umhverfis jörðu á rúmum 27 dögum og snýst einn hring um sjálft sig á sama tíma. Þetta veldur því að tunglið snýr ávallt sömu hlið sinni að jörðu. Þetta er það sem kallað er bundin snúningshreyfing.

Jörðin snýst aftur á móti örar um sjálfa sig en tunglið snýst umhverfis hana. Kraftvægið sem af því stafar hægir á snúningshraða jarðarinnar og veldur lengingu sólarhringsins sem nemur um einni millisekúndu á öld.^[2] Vegna varðveislu hverfiþungans færist braut tunglsins smám saman fjær jörðu að sama skapi. Í fjarlægri framtíð munu snúningshraði jarðar og umferðartími tunglsins hafa jafnast út og tunglið þá sjást aðeins frá einni hlið jarðar. Samkvæmt reiknilíkönum munu sólarhringurinn og mánuðurinn vera þá í kringum 40 núverandi jarðardagar að lengd.^[2] Því má hins vegar velta fyrir sér hvort að jörðu og tungli gefist aldur til þessa. Til að mynda er talið að hækkandi yfirborðshiti sólarinnar verði til þess að höf jarðar gufi upp eftir um einn milljarð ára en þá hverfur stærsti hluti sjávarfallanúnings í kerfi jarðar og tunglsins.^[10] Plútó og Karon hafa þó náð þessu jafnvægi og snúa ávallt sömu hlið hvor að öðrum.

Ef að fylgitunglið snýst umhverfis reikistjörnuna gagnstætt snúningi hennar eða hraðar en hún snýst um sjálfa sig valda flóðkraftarnir þveröfugum áhrifum og fylgitunglið nálgast reikistjörnuna smátt og smátt. Á endanum kemst það inn fyrir svokölluð Roche-mörk reikistjörnunnar þar sem að flóðkraftar reikistjörnunnar rífa það í sundur. Dæmi um þetta er Tríton, stærsta tungl Neptúnusar en talið er að eftir nokkra milljarða ára komist það inn fyrir Roche-mörk Neptúnusar og myndi þar hringi svipaða hringum Satúrnusar.^[5]

Tengt efni

• Flóðkraftar
  

Heimildir

1. Carroll, Bradley W. og Dale A. Ostlie (2007). An introduction to modern astrophysics. Pearson Education Inc.
2. Celletti, Alessandra og Ettore Perozzi (2007). Celestial Mechanics – The Waltz of the Planets. Praxis Publishing Ltd.
3. Cornish, Neil J. (dagsetningu vantar). Lagrange Points. Slóðin er: http://wmap.gsfc.nasa.gov/mission/observatory_l2.html.
4. Elkins-Tanton, Linda T. (2010). Asteroids, Meteorites and Comets. Facts on File, Inc.    
5. Elkins-Tanton, Linda T. (2006). Uranus, Neptune, Pluto, and the Outer Solar System. Chelsea House.    
6. Lewis, John S. (2004). Physics and Chemistry of the Solar System. Elsevier Academic Press.
7. McFadden, Lucy-Ann, Paul R. Weissman og Torrence V. Johnson. (2007). Encyclopedia of the Solar System. Elsevier Inc.
8. Regev, Oded (2006). Chaos and Complexity in Astrophysics. Cambridge University Press.
9. Roy, A. E. (2005). Orbital Motion. IOP Publishing Ltd.
10. Schröder, K. P. og Robert Connon Smith (2008). Distant future of the Sun and Earth revisited. Slóðin er: http://arxiv.org/pdf/0801.4031.
    

Hvernig vitna skal í þessa grein

• Eyjólfur Guðmundsson (2011). Brautarherma, Lagrange-punktar og bundin snúningshreyfing. Stjörnufræðivefurinn. http://www.stjornuskodun.is/solkerfid-large/brautarherma-lagrange (sótt: DAGSETNING).